巧寻动点轨迹求解几何最值问题“三例说”

动态最值在平面几何中是属于比较有难度的一类问题，虽然有些是有模有型，但更多的是各具特色千姿百态，求解思路和技巧也五花八门。但终究，她们是有共同之处的，就是寻动点的踪迹找变化的规律，然后根据变量间的关系求最值。今举例三题一起来说说：

【例一】（如图）扇形AOB中，∠AOB=120o，OA=2，C为弧上一点，D、E分别为OA、OB上的点，且∠DCE=60o，F为△CDE的内心，求：线段OF的最小值

【分析】线段OF为单动点F，此题关键是寻找动点F的运动轨迹

（1）连AB，由已知得：∠OBA=∠OAB=30o，作∠CED的平分线交AB于点F，连CF

（2）由已知可得：DOEC四点共圆，连OC，∴∠DOC=∠DEC，连BC，则∠ABC=∠AOC/2，易得：∠ABC=∠DEC/2=∠FEC，

（3）得：FEBC共圆，∠FCE=∠FBE=30o，∴FC平分∠DCE，即点F为△CDE的内心，故点F与F重合，点F在弦AB上

（4）由此知：点F的轨迹为定弦AB（部分），又点O为定点，所以OF的最小值为点O到定弦AB的垂线段长，故：OF的最小值为：1

【例二】（如图）在△ABC中，∠ACB=90o，∠ABC=60o，BC=1，P、Q分别是AB、AC边上的动点，满足∠QPC=60o，求：QC的最小值

【分析】由动点P的特点作△CPQ的外接圆O，此题的关键是确准圆心O的轨迹再将QC最值转化到半径上

（1）作△PQC的外接圆⊙O，设半径为R，连OC、OQ，则∠QOC=120o，∠OCQ=30o，即：点O在定射线CN上（设CO交AB于点N），得：QC=√3R，△BCN为正三角形，CN=BC=1

（2）过圆心O作OM⊥AB，垂足为M，连OP，由Rt△OMN得：OM=√3ON/2=（1－R）√3/2，在Rt△OPM中得：R=OP≥OM（因P为动点），即：R≥（1－R）√3/2，

（4）得R≥2√3－3，∴R的最小值：2√3－3，由QC=√3R，∴线段QC的最小值为：6－3√3

【例三】（如图）矩形ABCD中，∠DAC=30o，DC=3，P是边AD上动点，过P作PG⊥AC于G，连接BP并取其中点E，求EG的最小值

【分析】EG为双动点，根据动点E为BP的中点，延长PG至H使PG=GH（EG为中位线），将EG转化到BH上，BH为单动点，此题关键是确准点H的轨迹

（1）延长PG至H，使PG=GH，连BH，则：EG为中位线，∴EG=BH/2

（2）连AH，由已知可得：△APG≌△AHG，∴∠HAG=∠PAG=30o，∴点H的轨迹为射线AH

（3）由于点B为定点，∴BH的最小值为点B到射线AH的垂线段长，由上可得：∠BAH=30o，所以：BH的最小值为3/2

（4）由EG=BH/2，所以：EG的最小值为3/4

以上三例之分析，“道听度说”供参考。